Лекция 5

Дифференцирование функциональных рядов

Теорема: f_n(x) → f(x), xO(a), f_n^’(x) C(O(a)),

Тогда f(x)D(O(a)) и f^’(x)=g(x), xO(a)

Доказательство. (на основании теоремы об интегрировании функционального ряда)

f_n^’(t)=g(t), t[a,x] – непрерывная функция, так как ряд f_n^’(t) равномерно сходится на O(a). На основании теоремы об интегрировании функционального ряда этот ряд можно проинтегрировать почленно и получить равномерно сходящийся на O(a) ряд.

Степенные ряды

Степенными рядами называются ряды вида , где a_n, x₀ –постоянные, x – переменная.

Мы будем рассматривать ряды с x₀=0, т.е.

1 теорема Абеля. Пусть сходится при некотором x₀. Тогда для h< ряд сходится равномерно на [-h;h]

Доказательство. Так как сходится, то , где M>0 – некоторая постоянная.

сходится по признаку Вейерштрасса

Следствие: 1)

Область сходимости степенного ряда

D=, где R – радиус сходимости.

Любой степенной ряд сходится в точке x=0. В остальных случаях ряд сходится при всех , если R – радиус сходимости (точная верхняя грань множества x, для которых ряд сходится)-существует. Если точной верхней грани нет, то полагают - ряд сходится на всей числовой прямой.

Приведем примеры:

Чтобы найти радиус сходимости, можно воспользоваться признаками сходимости знакопостоянных рядов Даламбера либо Коши.

Признак Даламбера:

Признак Коши:

Примечание. Если ни один из указанных пределов не существует, то нужно положить радиус сходимости равным нижнему пределу (наименьшему частичному пределу) выражения для R.

Пример.