Лекция 5

Лекция 12

Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Представим неоднородное уравнение в виде:

, (1)

где P(x) и Q(x) - многочлены, причем .

Частное решение уравнения (1) можно искать в виде:

, где R(x) и S(x) – многочлены степени m, k –кратность корня характеристического уравнения (k принимается равным 0, если не является корнем характеристического уравнения).

Пример.

В данном случае и частное решение ищется в виде:

;

Подставляем выражения для и в исходное уравнение:

Решение исходного уравнения:

Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему

, где - произвольные постоянные

Решение представляет собой систему , которая задает линейное векторное пространство R².

Решение системы можно представить также в виде

, если - решения независимы.

Исходную систему запишем в виде:

, где A – матрица из коэффициентов системы.

Введем невырожденную матрицу B замены

, где

Матрица A₁ запишется в виде , где - собственные значения характеристического многочлена матрицы A (собственные числа):

;

, где и - собственные векторы матрицы A.

Пример.

Собственные числа матрицы A:

Нетрудно найти, что

Общее решение системы уравнений:

Пример 2. Рассмотрим случай, когда корни характеристического многочлена совпадают.

(1)

, матрица примет вид .

, другое решение нужно искать в виде:

(1’) , где a,b,c,d – неопределенные коэффициенты.

Найдем их, продифференцировав уравнения системы (1’) и подставив выражения для в уравнение (1)

Разделив на оба уравнения, получим систему, связывающую неизвестные коэффициенты:

, отсюда (система вырожденная).

Положим .

Проверим систему на линейную зависимость.

Таким образом, общий вид решения:

В случае кратных корней одно решение находится сразу, второе – методом неопределенных коэффициентов.

Пример3. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющих комплексно-сопряженные корни.

Общее решение:

Рассмотрим еще один пример, который иллюстрирует решение системы трех линейных дифференциальных уравнений.

Даны две последовательные химические реакции и . Скорость каждой из реакций пропорциональна концентрации реагирующего вещества. Константы скорости реакций равны a и b.