Лекция N 1

Кратные интегралы

Двойные интегралы

Опр: множество КRⁿ называется компактом, если К- ограничено и замкнуто, т.е. лежит в ограниченном объеме и содержит все свои предельные точки.

Пример: отрезок, квадрат вместе с границей, окружность и эллипс вместе с границами.

Опр: множество DRⁿ называется связным, если не выполняется следующее свойство:

D₁, D₂– открытые непустые множества: D₁DØ, : D₂DØ, DD₁D₂, D₁D₂=Ø

рис.1 несвязное множество D

Пример связного множества: связный компакт на прямой– отрезок, связные компакты на плоскости– квадрат и круг с границами.

Свойства компактов К₁ и К₂:

1. К₁ К₂также является компактом.

2. К₁ К₂–компакт

Площадь компакта К

рис.2

Пусть КP_n , где P_n–многоугольник; либо совокупность многоугольников, если К состоит из нескольких несвязных частей. Площадь многоугольника P_n можно найти сложением площадей составляющих его треугольников (рис. 2): S_n=.

Определение: площадью S(K) компакта K называется : S(K)=inf S(P_n).

Эта нижняя граница всегда существует, т.к. площадь– величина неотрицательная и ограничена снизу нулем.

Свойства S(K):

S(K)0
S(К₁ К₂)=0 S(К₁ К₂)= S(K₁) + S(K₂)

Примеры:

График непрерывной функции y = f(x) С[a,b]:

1. K = {(x,y): x [a,b] ; y = f(x)}; докажем, что S(K) = 0.

рис.3

Делим отрезок [a,b] на n равных частей, пусть m_i = f(x);

M_i = f(x);

f(x) равномерно непрерывна на [a,b] (теорема Кантора)

> 0 n₀ n₀: M_i - m_i<.

Рассмотрим K P_n :

S (P_n)= при

Следовательно, S(K)=0.

2. f(x)C[a,b]; f(x)>0; K={(x,y): x [a,b] ;0 y f(x)}; Площадь под кривой y = f(x), x [a,b] .

Докажем, что S(K) =

рис.4

M_i = f(x)

S (P_n)= (интеграл существует, т.к. всякая непрерывная функция интегрируема).

на рис.5 изображен компакт К.

Дадим определение :

Зададим разбиение Т компакта К:

Т –разбиение компакта К: {K = K_i: S(К_i К_j) = 0, ij}

Выбираем некоторую точку Р(), принадлежащую компакту К_i , и зададим интегральную сумму

S (T)= ,

Обозначим: d(K_i)=max(),

где -расстояние и диаметр разбиения: d(T) = .

Определение: Двойным интегралом от ограниченной функции f(x,y) по компакту К называется:

= , если такой предел существует.

Если такого предела не существует то функция неинтегрируема (например, функция Дирихле, D(x,y), которая в рациональных точках принимает значение 1, а в иррациональных точках значение ноль).