Лекция 3

Интеграл Пуассона (интеграл вероятности)

Вычислим с помощью двойного интеграла.

=(по определению)

, ,

= , где D₁–квадрат, D₁D₂

=В(R)

D₁D₂D₃

C(R)=

A(R)<B(R)<C(R)

B(R)=

A(R)

A(R) и C(R) имеют один предел при R, т.к. . Следовательно,

Тройные интегралы

Интегрирование на компакте К

Определение объема компакта:

Разобьем многогранник P_n , содержащий К, на пирамиды. Суммируя объемы пирамид, найдем объем этого многогранника. Тогда объем заключенного компакта

V(K)

свойство: если V(K₁ K₂)=0, тогда V(K₁ K₂)=

Следовательно, возможно только такое разбиение компакта, при котором объем границ нулевой (по аналогии с двойным интегралом). В этом случае разбиение трехмерного компакта осуществляется поверхностями с нулевым объемом (например, плоскостями):

Т– разбиение компакта: для .

dT–диаметр разбиения: ()

S(T)=

Все свойства для двойных интегралов справедливы для тройных интегралов (доказательства аналогичные). Физический смысл тройного интеграла заключается в том, что если плотность вещества задана функцией f, то масса вещества в определенном объеме– это тройной интеграл функции f по этому объему.

Вычисление тройных интегралов

К– компакт-цилиндроид

Если область интегрирования К– прямоугольный параллелепипед, а функция представима в виде произведения: f(x,y,z)=f₁(x)f₂(y)f₃(z), тогда

Замена переменных

Аналогично двукратному интегралу, отображение должно быть взаимооднозначным и, следовательно, якобиан

Пример 1: (цилиндрические координаты)

I(r,,z)=r

Пример 2: (сферические координаты)

Формулы связи: I=(якобиан замены)

V_шара= ==

Пример 3:

Плоская область DXOZ, вращаем ее вокруг оси Oz в цилиндрических координатах.

Объем тела вращения:

M_z= (статический момент инерции области В относительно оси Oz)

M_z=S(D)r_c, где r_c – расстояние от центра тяжести D (плотность области D равна 1).

Таким образом, объем тела вращения области D вокруг неподвижной оси z равен произведению S(D) на длину окружности, описанной центром тяжести области D.

Пример 4: (тор)

b>a V_тора=, где r_c=b.