Лекция 4

 

Криволинейные интегралы.

Выделяют два типа интегралов: первого и второго рода.

Рассмотрим криволинейный интеграл первого рода.

Пусть требуется найти длину кривой на плоскости, определенной уравнением y=y(x).

Как было доказано во втором семестре:

  y
                                                                       |L|=∫dl

                                                                       так как  y = y(x), то

               L                                                        

 

                                                               x

Кривая y=y(x) имеет конечную длину, если

Пример непрерывной кривой, не имеющей конечной длины:

   ,где 

Кривая является синусоидой, заключенной между двумя прямыми  и .

Для функции  условие непрерывности в точке х=0

нарушается. Кривая, заданная уравнением: не имеет конечной длины (доказать самостоятельно)

 

 

 

 

Опр. По определению, криволинейным интегралом первого (I-го) рода на плоскости называется:

  ,где L – кривая, заданная уравнениями . Докажем корректность определения:

Сделаем замену:   ,где    и                       

   ,где   и   ,

тогда   ,аналогично и

,

Как видно из полученного выражения, определение не зависит от выбора параметра.

 

Опр. Кривая , заданная параметрическими уравнениями и называется гладкой, если функции  и  имеют непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в нуль.

 

Опр.  Кусочнонепрерывной (кусочногладкой) кривой называется кривая, которая является непрерывной и состоит из нескольких гладких кривых.


 

 

Свойства кусочнонепрерывной кривой (без доказательства):

 (свойство аддитивности)

 

Аналогично кривая задается системой:

       это уравнение кусочнонеперывной кривой

 

                                                    

                                              Кривую L будем называть кривой по пути АВ, т.е. начало

               L                             кривой в точке А и конец в точке В.

 

 

 

   

       А            В

Заметим, что криволинейный интеграл первого рода не завистит от того, в каком направлении мы интегрируем по прямой от ,или от .

Опр. Интегралназывается криволинейным интегралом первого рода по кривой в пространстве .

 



Криволинейные интегралы второго типа.

 

Для начала, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, интеграл второго рода будем рассматривать на плоскости (в).

 

Криволинейным интегралом второго рода называется,

где и , .

Точки А и В имеют координаты

А(x(a),y(a)) и B(x(b),y(b)) соответственно.

L+ означает, что выбрано положительное

направление движения по кривой, т.е. то направление, при котором интеграл от А до В имеет положительное значение.

Обозначим - радиус вектор и

Работа по перемещению тела из точки А в точку В
в поле  выражается интегралом:

в этом и есть физический смысл интеграла.

Докажем корректность определения:

Делаем замену t=t(u) и ,

 и P зависит от x,y, которые, соответственно, зависят от u, а значит интеграл можно представить в виде:

 

т.е. интеграл не зависит от выбора параметризации.

Свойства:

10 Является линейным по функции и аддитивным по множеству, т.е.  и

                                                                                             А       

                                                                                                                

                                                                                                       

20                     L+                                         L-           L+=AB
                                                                                                  L-=BA

                                                В

 Физический смысл этого свойства заключается в следующем утверждении: работа сил в поле в одном направлении, равна работе сил со знаком минус                                                                                                в другом направлении


Связь между криволинейными
интегралами 1 и 2 рода.

                                                                                                                    В

Зададим касательный вектор движения по прямой                             

                         

                                                     

,

                                                       А

   ,а этот интеграл является интегралом первого типа.

 

Аналогично определим криволинейный интеграл второго рода в .

 

Рассмотрим векторное поле  , для которого является радиус вектором, тогда                                                                

, и

                                                                                                                                                                                 

Кривая L задается системой .                                                            

По определению:                                   

,         

а это криволинейный интеграл второго рода в пространстве. Независимость от выбора параметра доказывается также, как и в .

 

Пример

Рассмотрим пример, в котором точка с массой М находится в начале координат и неподвижна, а точка m, с массой m, движется по АВ.

 

Вычислить работу по перемещению точки m, приняв гравитационную постоянную равной .

, т.е.







,а

точки А и В имеют координаты  и  соответственно.

рассмотрим , тогда , как производная сложной функции от нескольких переменных, будет равна

 ,для вычисления , представим ив виде

,  и ,соответственно,

тогда подставив эти выражения в уравнение для , получаем:  , а так как работа выражается через определенный интеграл, то подставив это выражение, получаем

Заметим, что работа в гравитационном поле не зависит от выбора пути, а зависит только от начальной А и конечной В точек этого пути.