Лекция 7

Формула Гаусса-Остроградского

Формула Гаусса-Остроградского является одной из наиболее важных формул в векторном анализе. Она связывает поток векторного поля через замкнутую поверхность с напряженностью векторного поля внутри замкнутой поверхности. Для векотрного поля :

,

причем поверхностный интеграл потока векторного поля берется по поверхности через внешнюю сторону (вектор нормали к поверхности направлен «наружу»). Правую часть формулы можно переписать в виде:

, где  – дивергенция векторного поля ,  – оператор Гамильтона (набла).

Формула Гаусса-Остроградского справедлива, если выполняются два условия. Во-первых, поверхность S должна быть кусочно-гладкой, т.е. такой, что в любой ее точке можно провести касательную плоскость (поверхность задается дифференцируемыми функциями) и двусторонней (направление нормали при движении вдоль поверхности сохраняется. Во-вторых, векторное поле  должно быть таким, что функции  и их частные производные по x, y  и z непрерывны в области V.

Другие варианты формулы Гаусса-Остроградского.
 
Запишем выражение для вектора нормали: , где – углы,

γ
 

β
 

α
 

x
 

y
 

z
 

которые вектор нормали составляет с осями координат. .
Отсюда

 

Кроме того, имеет место следующая формула:

Доказательство формулы (1 вариант):

 Представим векторное поле в виде суммы векторных полей: , где , найдем потоки этих векторных полей по отдельности, а затем сложим их.

Рассмотрим сначала случай поля . Замкнутая поверхность является цилиндроидом, ограниченным сверху и снизу поверхностями, заданными в явном виде: (снизу) и

y
 

D
 

S3

z=z2(x,y)
 

S1

z=z1(x,y)
 

x
 

S2
 

z
 
 

 

(сверху). Поверхность S состоит из нижней S1, боковой S2 и верхней S3 поверхностей. Рассмотрим поверхностный интеграл по S1. D – проекция S1 на плоскость xy.

Координаты вектора нормали: .

 

Так как вектор нормали направлен вниз (координата по z отрицательна), то в формуле для нужно выбрать знак «+». .

D
 
Дифференциал поверхности равен:  Отсюда Интеграл по боковой поверхности S2. Вектор нормали , так как нормаль параллельна плоскости xy. . Какая бы ни была боковая поверхность, интеграл по ней равен нулю:

Интеграл по поверхности S3Рассматривается аналогично интегралу по поверхности S1 с той разницей, что вектор нормали направлен в противоположную сторону – вверх:. Скалярное произведение  на вектор нормали: , дифференциал поверхности:  

Сложим интегралы по поверхностям S1, S2 и S3:

Рассмотрим тройной интеграл по объему V:

Таким образом, для векторного поля  формула Гаусса-Остроградского доказана.

Аналогично доказывается формула, если взять поле , и в качестве замкнутой поверхности взять цилиндроид, ось которого направлена вдоль оси y.

(доказывается аналогично)

Аналогично и для поля :

Если взять поле , то  – формула Гаусса-Остроградского в общем виде верна.

При доказательстве мы использовали замкнутую поверхность, которая может быть представлена как цилиндроид с осью, направленной вдоль осей x, y или z. Такой поверхностью является прямоугольный параллелепипед. Если рассмотреть произвольную поверхность, то справедливость формулы не очевидна.

Разобьем произвольную поверхность на две – S1 и S2.

Проинтегрируем векторное поле по каждой поверхности и сложим. Получатся интегралы по S1, S2 и два интеграла по сечению. Интегралы по сечению отличаются только знаком (так как векторы нормалей направлены в разные стороны), они уничтожаются при сложении. Поэтому поверхность можно разбивать на части, интегрировать по ним, результаты складывать.

Произведем сечение замкнутой поверхности большим числом перпендикулярных плоскостей. Формула Гаусса-Остроградского будет верна всюду, кроме границ поверхности, на границах становится справедливой при устремлении диаметра разбиения к нулю. Отсюда следует, что формула Гаусса-Остроградского справедлива для любой кусочно-гладкой поверхности.

Пример.

В качестве поля возьмем радиус-вектор: , S – сфера радиуса R с центром в начале координат.

Для нахождения потока вектора воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского:

 

Формула Ньютона-Лейбница представляет интеграл по отрезку по значениям первообразной на границах отрезка. Формула Гаусса-Остроградского представляет собой, по существу, то же самое (вместо отрезка – объем, вместо границ отрезка – замкнутая поверхность). Эту формулу, как и формулу Грина, можно считать обобщением формулы Ньютона-Лейбница.